अनंत गुणनफल prodlimits_{n = 2}^infty {left( | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\prod\limits_{n = 2}^\infty  {\left( {\frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}} \right)} = \prod\limits_{n = 2}^\infty  {\left( {\frac{{(n -

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$\frac{1}{2}$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $\prod\limits_{n = 2}^\infty  {\left( {\frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}} ight)} = \prod\limits_{n = 2}^\infty  {\left( {\frac{{(n - 1)(n + 1)}}{{n \cdot n}}} ight)}$ है।$n=2$ से $N$ तक गुणनफल का विस्तार करने पर:$P_N = \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} ight) \cdot \left( \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} ight) \cdot \left( \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} ight) \cdots \left( \frac{(N-1)(N+1)}{N \cdot N} ight)$.यह एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल है:$P_N = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{N-1}{N} ight) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdots \frac{N+1}{N} ight)$.$P_N = \left( \frac{1}{N} ight) \cdot \left( \frac{N+1}{2} ight) = \frac{N+1}{2N}$.जब $N 	o \infty$ हो,तब सीमा लेने पर:$\lim_{N 	o \infty} \frac{N+1}{2N} = \lim_{N 	o \infty} \frac{1 + 1/N}{2} = \frac{1}{2}$.

अनंत गुणनफल $\prod\limits_{n = 2}^\infty {\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}$ का मान क्या है?

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यदि $t_{n} = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है,तो $\frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{t_{2}} + \frac{1}{t_{3}} + \dots + \frac{1}{t_{2003}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$ है,तो $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{t_n} = $

$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{n}{{1 + {n^2}\left( {{n^2} - 2} \right)}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum\limits_{r = 1}^\infty {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{3}{{{r^2} - r + 9}}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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